Question

已知数列{a_n}中，．
（Ⅰ）设，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=-3n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵
∴
∴=+2
∵，∴b_n+1=4b_n+2，
∴=4（）
∵a₁=1，∴
∴{）是首项为-，公比为4的等比数列
∴，
∴；
（Ⅱ）c_n=-3n•b_n=n×4^n-1+2n
令T_n=1×4⁰+2×4+…+n×4^n-1①，则4T_n=4+2×4²+…+n×4ⁿ②
①-②可得-3T_n=1+4+…+4^n-1-n×4ⁿ=-n×4ⁿ
∴T_n=
∴数列{c_n}的前n项和S_n=+n（n+1）．
分析：（Ⅰ）对数列递推式变形，构造新数列，可得{）是首项为-，公比为4的等比数列，从而可求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据数列的通项，分组求和，分别利用错位相减法与等差数列的求和公式，即可求得结论．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数列的求和，考查构造法的运用，正确运用数列的求和公式是关键．