Question

（2009•滨州一模）已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为k_n=

1

xn+2

的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列{A_n}的横坐标构成数列{x_n}，其中x₁=

11

7

．
（I）求x_n与x_n+1的关系式；
（II）令b_n=

1

xn-2

+

1

3

，求证：数列{b_n}是等比数列；
（III）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

分析：（I）由题意可得kn=-

1

xnxn+1

，利用k_n=

1

xn+2

，即可得到x_n与x_n+1的关系式；
（II）由b_n=

1

xn-2

+

1

3

，可得b_n+1=-2（

1

xn-2

+

1

3

），从而可得数列{b_n}是等比数列．
（III）c_n+1＞c_n成立等价于c_n+1-c_n=2×3ⁿ+3λ×（-2）ⁿ＞0恒成立，即(-1)nλ＞-(

3

2

)n-1恒成立，对n讨论，即可得到结论．

解答：（I）解：过C：xy=1上一点A_n（x_n，y_n）作斜率为k_n的直线交C于另一点A_n+1，则k_n=-

1

xnxn+1

∵k_n=

1

xn+2

，∴-

1

xnxn+1

=

1

xn+2

∴x_nx_n+1=-x_n+2；
（II）证明：∵b_n=

1

xn-2

+

1

3

，∴b_n+1=

1

xn+1-2

+

1

3

=

1

xn+2 xn -2

+

1

3

=-2（

1

xn-2

+

1

3

），
∵x₁=

11

7

，∴b₁=-2
∴数列{b_n}是等比数列．
（III）解：由（II）知，bn=(-2)n，则c_n+1＞c_n成立等价于c_n+1-c_n=2×3ⁿ+3λ×（-2）ⁿ＞0恒成立
即(-1)nλ＞-(

3

2

)n-1恒成立
①n为奇数时，-λ＞-(

3

2

)n-1，∴λ＜(

3

2

)n-1，∴λ＜1；
②n为偶数时，λ＞-(

3

2

)n-1，∴λ＞-

3

2

∴-

3

2

＜λ＜1
∵λ为非零整数
∴λ=-1．
∴λ=-1，对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查恒成立问题，正确求通项是关键．