Question

过点P（1，0）作曲线C：y=x²（x＞0）的切线，切点为M₁，设点M₁在x轴上的投影是点P₁，又过点P₁作曲线C的切线，切点为M₂，设点M₂在x轴上的投影是点P₂，…依此下去，得到点列P₁，P₂，P₃，…，记它们的横坐标a₁，a₂，a₃，…构成数列{a_n}．
（Ⅰ）求a_n与a_n-1（n≥2）的关系式；
（Ⅱ）令bn=

n

an

，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意得，y′=2x，于是可求曲线C在点M_n（a_n，

a

2 n

）处的切线方程为y=2a_n（x-a_n）+

a

2 n

，当n=1时，切线过点P（1，0），解得a₁=2；当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0），从而可得a_n与a_n-1（n≥2）的关系式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ，而b_n=

n

2n

，S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，利用错位相减法即可求得数列{b_n}的前n项和．

解答：解：（Ⅰ）对y=x²求导，得y′=2x，
∴曲线C在点M_n（a_n，

a

2 n

）处的切线方程是y=2a_n（x-a_n）+

a

2 n

，由已知得a_n＞0，
当n=1时，切线过点P（1，0），
∴2a₁（1-a₁）+

a

2 1

=0，解得a₁=2；
当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0），
同理可得得a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是首项a₁=2，公比q=2的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）∵a_n=2ⁿ，b_n=

n

2n

，
∴S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①，
∴

1

2

S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

②，
①-②得：

1

2

S_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴S_n=2-

n+2

2n

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查等比数列关系的确定及通项公式的应用，突出考查错位相减法求和，属于中档题．