Question

过点P（1，0）作曲线C：y=x²（x∈（0，+∞）的切线，切点为M₁，设M₁在x轴上的投影是点P₁．又过点P₁作曲线C的切线，切点为M₂，设M₂在x轴上的投影是点P₂，…．依此下去，得到一系列点M₁，M₂…，M_n，…，设它们的横坐标a₁，a₂，…，a_n，…，构成数列为{a_n}．
（1）求证数列{a_n}是等比数列，并求其通项公式；
（2）令bn=

n

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）要证数列{a_n}是等比数列，只需证明数列{a_n}的后一项比前一项是常数即可，可先对y=x²求导数，y=x²在切点处的导数，就是在该点处的切线的斜率，求出切线方程，就可找到切点在x轴上的投影的横坐标，再求相邻横坐标之商，看是否为常数，就可证出数列{a_n}是等比数列，再根据等比数列的通项公式求数列{a_n}的通项公式即可．
（2）根据（1）中所求数列{a_n}的通项公式求出数列{b_n}的通项公式，再用错位相减求前n项和S_n

解答：解：（1）对y=x²求导数，得y'=2x，切点是M_n（a_n，a_n²）的切线方程是y-a_n²=2a_n（x-a_n）．（2分）
当n=1时，切线过点P（1，0），即0-a₁²=2a₁（1-a₁），得a₁=2；
当n＞1时，切线过点Pn-1(an-1，0)，即0-

a

2 n

=2an(an-1-an)，得

an

an-1

=2
所以数列{a_n}是首项a₁=2，公比为2的等比数列．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ，n∈N^*（6分）
（2）∵bn=

n

an

，a_n=2ⁿ，∴bn=

n

2n

S_n=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

            ①
2S_n=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

   ②
①-②，得-S_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

3

2n+1

点评：本题考查了等比数列的证明，以及错位相减求和．