Question

下列四种说法中，错误的个数是（　　）
①A={0，1}的子集有3个；
②命题“存在x0∈R， 2x0≤0”的否定是：“不存在x0∈R， 2x0＞0；
③函数f（x）=e^-x-e^x的切线斜率的最大值是-2；
④已知函数f（x）满足f（1）=1，且f（x+1）=2f（x），则f（1）+f（2）+…+f（10）=1023．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①根据一个非空集合子集的个数公式进行求解；
②根据命题否定的定义，进行求解；
③利用导数研究直线的斜率，再利用均值不等式进行求解；
④已知函数f（x）满足f（1）=1，且f（x+1）=2f（x），可知

f(x+1)

f(x)

=2，构成等比数列，根据等比数列求和公式进行求解；

解答：解：①A={0，1}的子集个数为：2²=4，故①错误；
②命题“存在x0∈R， 2x0≤0”的否定是对任意的x0∈R， 2x0＞0；故②错误；
③函数f（x）=e^-x-e^x的切线，
∴f′（x）=-e^-x-e^x=-（

1

ex

+e^x）≤-2（当e^x=

1

ex

时，即x=0时，等号成立），
∴函数f（x）=e^-x-e^x的切线斜率的最大值是-2，故③正确；
④已知函数f（x）满足f（1）=1，且f（x+1）=2f（x），
∴

f(x+1)

f(x)

=2，可得f（x）为等比数列，f（1）=1，
∴f（x）=1×2^n-1=2^n-1，
∴f（1）+f（2）+…+f（10）=

1×(1-210)

1-2

=1024-1=1023；
故④正确；
故选B；

点评：此题主要考查命题的真假判断与应用，是一道基础题，考查的知识点比较全面；