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对于一般的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,(a≠0)定义:设f''(x)是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的导数.若f''(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”,现已知:g(x)=(x-a)(x-b)(x-c),请解答下列问题:
(Ⅰ).若y=g(x)是R上的增函数,求证a=b=c;
(Ⅱ)在(Ⅰ).的条件下,求函数y=g(x)的“拐点”A的坐标,并证明函数y=g(x)的图象关于“拐点”A成中心对称.
(I)∵g(x)=(x-a)(x-b)(x-c),
∴g'(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)
=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac,
∵y=g(x)是R上的增函数,
∴g'(x)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac≥0在R上恒成立
即4(a+b+c)2-12(ab+bc+ac)≤0
则2a2+2b2+2c2-2(ab+bc+ac)≤0即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0
∴a=b=c;
(II)由(I)得y=g(x)=(x-a)3
g'(x)=3(x-a)2,g''(x)=6(x-a)=0
解得x=a
∴函数y=g(x)的“拐点”A的坐标为(a,0)
设函数y=g(x)图象上任意一点(x,y)则关于(a,0)的对称点为(2a-x,-y)
根据g(2a-x)=(a-x)3=-g(x)可知点(2a-x,-y)也在函数y=g(x)图象上
∴函数y=g(x)的图象关于“拐点”A(a,0)成中心对称.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

对于一般的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,(a≠0)定义:设f''(x)是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的导数.若f''(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”,现已知:g(x)=(x-a)(x-b)(x-c),请解答下列问题:
(Ⅰ).若y=g(x)是R上的增函数,求证a=b=c;
(Ⅱ)在(Ⅰ).的条件下,求函数y=g(x)的“拐点”A的坐标,并证明函数y=g(x)的图象关于“拐点”A成中心对称.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x,其图象记为曲线C.
(i)求函数f(x)的单调区间;
(ii)证明:若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)),曲线C与其在点P2(x2,f(x2))处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)),线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1,S2.则
S1S2
为定值;
(Ⅱ)对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题,并予以证明.

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科目:高中数学 来源:福建省高考真题 题型:解答题

(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x,其图象记为曲线C,
(ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(ⅱ)证明:若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)),曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)),线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则为定值;
(Ⅱ)对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),请给出类似于(Ⅰ)(ⅱ)的正确命题,并予以证明.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年新课标高三(上)数学一轮复习单元验收2(文科)(解析版) 题型:解答题

(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x,其图象记为曲线C.
(i)求函数f(x)的单调区间;
(ii)证明:若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)),曲线C与其在点P2(x2,f(x2))处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)),线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1,S2.则为定值;
(Ⅱ)对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题,并予以证明.

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