Question

（Ⅰ）已知函数f（x）=x³-x，其图象记为曲线C．
（i）求函数f（x）的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），曲线C与其在点P₂（x₂，f（x₂））处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积记为S₁，S₂．则

S1

S2

为定值；
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（i）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0解得的区间为增区间和fˊ（x）＜0解得的区间为减区间，注意单调区间不能并；
（ii）先求出点P₁与点P₂的横坐标的关系，再求定积分求出围成封闭图形的面积S₁，利用同样的方法求出面积S₂即可．
（Ⅱ）根据类似（Ⅰ）的命题方法进行求解，可知曲线C′与其在点P₁（x₁，g（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，g（x₂）），再求出P₃，从而进行求解；

解答：解：（Ⅰ）（i）由f（x）=x³-x得f′（x）=3x²-1=3（x-

3

3

）（x+

3

3

），
当x∈（-∞，-

3

3

）和（

3

3

，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（-

3

3

，

3

3

）时，f′（x）＜0，
因此，f（x）的单调递增区间为（-∞，-

3

3

）和（

3

3

，+∞），单调递减区间为（-

3

3

，

3

3

）；
（ii）曲线C与其在点P₁处的切线方程为y=（3x₁²-1）（x-x₁）+x₁³-x₁，即
即y=（3x₁²-1）x-2x₁³，由

y=(3 x 3 1 -1)x- 2x 3 1 y=x3-1

；
解得x=x₁或x=-2x₁故x₂=-2x₁，
进而有S₁=|

∫

-x1 x1

（x³-3x₁³x+2x₁³）dx|=

27

4

x

4 1

，用x₂代替x₁，重复上述计算过程，可得
x₃=-2x₂和S₂=

27

4

x

4 2

，∴

S1

S2

=

1

16

；图形
（Ⅱ）类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：
若对于任意不等于-

b

3a

的实数x₁，曲线C′与其在点P₁（x₁，g（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，g（x₂）），
曲线C′与其在点P₂（x₁，g（x₁））处的切线交于另一点P₃（x₃，g（x₁）），线段P₁P₂、P₂P₃与曲线C′所围成封闭
图形的面积分别记为S₁，S₂，则

S1

S2

为定值；
证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，
故可将曲线y=g（x）的对称中心（-

b

3a

，g（-

b

3a

））
平移至坐标原点，因而不妨设g（x）=ax³+hx，且x₁≠0，类似（Ⅰ）（ii）的计算可得：S₁=

27

4

a

2 1

，S₂=

27×16

4

a

2 1

≠0，故

S1

S2

=

1

16

；

点评：本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．