Question

在实数范围内解不等式：5^x≥4^x+1．并利用解此题的方法证明：3^x+4^x=5^x有唯一解．

Answer 1

解：由5^x≥4^x+1得，显然是减函数，又当x=1时，即f（1）=1；当x＞1时，；不等式的解集为{x|x≤1}．
由方程3^x+4^x=5^x得，，显然函数是减函数，又当x=2时，，当x＜2时，，当x＞2时，，方程3^x+4^x=5^x有唯一解．
分析：将5^x≥4^x+1化为，利用是减函数的性质，可求得不等式的解集，类比解此题的方法证明：3^x+4^x=5^x有唯一解．
点评：本题考查函数单调性的性质，难点在于将5^x≥4^x+1化为，并构造函数，通过研究函数的单调性解决问题，属于难题．