Question

18．已知等差数列{a_n}满足a₂=4，a₆+a₈=18．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{$\frac{1}{n{a}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₂=4，a₆+a₈=18．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{2{a}_{1}+12d=18}\end{array}\right.$，
解得：a₁=3，d=1，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=3+（n-1）=2+n．
（II）设数列$\left\{{\frac{1}{{n{a_n}}}}\right\}$的前n项和为S_n，$\frac{1}{{n{a_n}}}=\frac{1}{{n（{n+2}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$，
∴${S_n}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$，
∴${S_n}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）=\frac{1}{2}（{\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{（{n+1}）（{n+2}）}}}）$，
化为${S_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{{2（{n+1}）（{n+2}）}}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．