Question

13．在y=2x²上有一点P，它到A（1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，求点P的坐标．

Answer 1

分析 直线l为抛物线y=2x²的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN₁⊥l，由抛物线的定义知，|PF|=|PN|，可得|AP|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN₁|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号．

解答 解：如图所示，直线l为抛物线y=2x²的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN₁⊥l，
由抛物线的定义知，|PF|=|PN|，
∴|AP|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN₁|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号．
∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，
∴P（1，2）．

点评 本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质、最小值问题，属于中档题．