Question

设复数ω=-i,复数ω-z,ω+z在复平面上对应的点分别为A、B，如果△OAB是以O（O为原点）为直角顶点的等腰直角三角形，求复数z及△OAB的面积.

Answer 1

解：∵△OAB是等腰直角三角形,

∴

由①得|ω-z|²=|ω+z|².

(ω-z)()=(ω+z)().

∴(ω-z)()=(ω+z)().

∴ω-ω-z+z·=ω+ω+z+z·.

∴2ω+2z=0.∴ω+z=0.③

由②得(ω-z)()+(ω+z)()=4z·,

ω-ω-z +z·+ω+ω+z+z·=4z·.

∴ω=z·.④

由④得|z|=|ω|=1.⑤

设z=x+yi,代入③⑤得

解得

∴z=i或z=-i,

S_△OAB=|ω-z|·|ω+z|=1.