Question

（满分12分）某专卖店销售一新款服装，日销售量（单位为件）f (n) 与时间n（1≤n≤30、nÎ N*）的函数关系如下图所示，其中函数f (n) 图象中的点位于斜率为 5 和－3 的两条直线上，两直线交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大.
(Ⅰ)求f (n) 的表达式，及前m天的销售总数；
(Ⅱ)按以往经验，当该专卖店销售某款服装的总数超过 400 件时，市面上会流行该款服装，而日销售量连续下降并低于 30 件时，该款服装将不再流行.试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过 10 天？请说明理由.
 

Answer 1

(Ⅰ) f (n) = ，（nÎN*）
前 12 天的销售总量为  354 件
(Ⅱ) 见解析

(I) 根据题意，设f (n) = （nÎN*），  1分
而    f (1) = 2，∴ 5 + a =" 2" Þa = －3．          2分
又     5m + a = －3m + b，∴b = 8m + a = 8m－3，         3分
∴    f (n) = （nÎN*）．       4分
由    f (m) = 57得m = 12．                   5分
∴    f (n) = ，（nÎN*） 6分
前 12 天的销售总量为 5 (1 + 2 + 3 + … + 12)－3×12 =" 354" 件．         7分
(II)   第 13 天的销售量为f (13) = －3×13 + 93 =" 54" 件，      8分
而 354 + 54 > 400 件，
∴    从第 14 天开始销售总量超过 400 件，即开始流行．   9分
设第x 天的日销售量开始低于 30 件 (12 < x≤ 30)，
即f (x) = －3x + 93 < 30 ，   10分
解得x > 21．        11分
∴    从第 22 天开始日销售量低于 30 件．
∵     21－13 = 8，
∴    该服装流行的时间不超过10天．       12分