Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E为CC₁的中点．
求证：（1）AC₁∥平面BDE；（2）A₁E⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（1）因为OE∥AC₁且OE?平面BDE，AC₁?平面BDE所以AC₁∥平面BDE．
（2）由B₁E⊥BE且A₁B₁⊥BE可得BE⊥平面A₁B₁E．有题意得A₁E⊥BE，A₁E⊥DE所以A₁E⊥平面BDE

解答：（1）证明：连接AC，设AC∩BD=O．由条件得ABCD为正方形，
所以O为AC中点．
∵E为CC₁中点，
∴OE∥AC₁．
∵OE?平面BDE，AC₁?平面BDE．
∴AC₁∥平面BDE．
（2）连接B₁E．设AB=a，则在△BB₁E中，BE=B₁E=

2

a，BB₁=2a．
∴BE²+B₁E²=BB₁²．
∴B₁E⊥BE．
由正四棱柱得，A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，
∴A₁B₁⊥BE．
∴BE⊥平面A₁B₁E．
∴A₁E⊥BE．
同理A₁E⊥DE．
∴A₁E⊥平面BDE．

点评：夹角线面平行问题的关键是在面内找一条直线与已知直线平行，而线面垂直问题的关键则是直线与面内的两条相交直线都垂直．