Question

（2012•长宁区一模）在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD的边长为2，点P是CC₁的中点，直线AP与平面BCC₁B₁成30°角，求异面直线BC₁和AP所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

分析：欲求异面直线BC₁和AP所成角，先平移其中一条直线，使其成为相交直线，则相交直线所成角即为异面直线所成角，本题中，容易判断AD₁∥BC₁，所以∠D₁AP是异面直线BC₁和AP所成的角．再放入△D₁AP中，用余弦定理来求即可．

解答：解：连接BP，设长方体的高为h，
因为AB⊥平面BCC₁B₁，
所以，∠APB即为直线AP与平面BCC₁B₁所成的角
PB=

h2 4 +4

，
由tan600=

h2 4 +4

2

得h=4

2

．
又因为AD₁∥BC₁，
所以∠D₁AP是异面直线BC₁和AP所成的角．
在△D₁AP中，AD₁=6，PA=4，D1P=2

3

，
所以，cos∠D1AP=

16+36-12

2•4•6

=

5

6

，即∠D1AP=arccos

5

6

点评：本题主要考查了异面直线所成角的求法，关键是如何把异面直线所成角转化为平面角．