Question

ax²+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（　　）

A.0＜a≤1

B.a＜1

C.a≤1

D.0＜a≤1或a＜0

Answer 1

错解：方程ax²+2x+1=0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4-4a≥0，从而a≤1.

（1）又设方程ax²+2x+1=0的根为x₁、x₂，由韦达定理知x₁+x₂=-,x₁·x₂=,

因而方程ax²+2x+1=0有1个负根的充要条件是a＜0.

（2）方程ax²+2x+1=0有2个负根的充要条件是0＜a≤1.

综上所述，本题应选D.

错解分析：由于方程的二次项系数含有字母，因此，首先要判定方程ax²+2x+1=0是一元一次方程还是一元二次方程.求充要条件时，要保证推理过程可逆.

正解：（1）当a=0时，方程就是2x+1=0，其根为x=-，符合要求；

（2）当a≠0时，它为一元二次方程，又要分方程有一个负根一个正根，两个都是负根.解法见错解，得a＜0或0＜a≤1.（没有零根）

由（1）（2）知，本题选C.

答案：C