Question

有下列命题：
①在函数y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
②函数y=log₂|3x-m|的图象关于直线x=

1

2

对称，则m=

3

2

；
③关于x的方程ax²-2x+1=0有且仅有一个实数根，则实数a=1；
④已知命题p：?x∈R，都有sinx≤1，则￢p是：?x∈R，使得sinx＞1．
其中真命题的序号是_

②④

．

Answer 1

分析：①由y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=

1

2

cos2x，能求出在它的图象中相邻两个对称中心的距离；②由函数y=log₂|3x-m|的图象关于直线x=

1

2

对称，知log₂|3x-m|=log₂|3（1-x）-m|，由此能求出m；③关于x的方程ax²-2x+1=0有且仅有一个实数根，则实数a=1，或a=0；④已知命题p：?x∈R，都有sinx≤1，则￢p是：?x∈R，使得sinx＞1．

解答：解：①∵y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）=

1

2

sin(2x+

π

2

)=

1

2

cos2x，
∴在它的图象中，相邻两个对称中心的距离为

π

2

，故①不正确；
②∵函数y=log₂|3x-m|的图象关于直线x=

1

2

对称，
∴log₂|3x-m|=log₂|3（1-x）-m|，
解得m=

3

2

，故②正确；
③关于x的方程ax²-2x+1=0有且仅有一个实数根，则实数a=1，或a=0，故③错误；
④已知命题p：?x∈R，都有sinx≤1，则￢p是：?x∈R，使得sinx＞1，故④正确．
故答案为：②④．

点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．