Question

在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N．若

OM

=x

OA

，

ON

=y

OB

．
（1）求证：x与y的关系为y=

x

x+1

；
（2）设f(x)=

x

x+1

，定义在R上的偶函数F（x），当x∈[0，1]时F（x）=f（x），且函数F（x）图象关于直线x=1对称，求证：F（x+2）=F（x），并求x∈[2k，2k+1]（k∈N）时的解析式；
（3）在（2）的条件下，不等式F（x）＜-x+a在x∈[2k，2k+1]（k∈N）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用平行四边形对边平行且相等以及平行线分线段成比例可得x与y的关系．
（2）F（x）图象关于直线x=1对称?F（2-x）=F（x）?F（x+2）=F（-x）再利用F（x）=F（-x）可得F（x+2）=F（x）．
在把x∈[2k，2k+1]转化为x-2k∈[0，1]，利用x∈[0，1]时F（x）=f（x）可得x∈[2k，2k+1]（k∈N）时的解析式．
（3）利用转化的思想把F（x）＜-x+a转化为a＞1+x-

1

x-2k+1

对x∈[2k，2k+1]（k∈N）恒成立，再求后面的最大值即可．

解答：解：（1）利用平行四边形对边平行且相等以及平行线分线段成比例可得：

| OM |

| OA |

=

| OM |

| CB |

=

| ON |

| NB |

（2分），
又由

OM

=x

OA

，

ON

=y

OB

；
∴x=

y

1-y

，从而y=

x

1+x

．（4分）
（2）当x∈[0，1]时，F(x)=

x

x+1

．
∵F（x）图象关于直线x=1对称，
∴F（2-x）=F（x），（5分）
∴F（x+2）=F（-x），又F（x）为偶函数，
∴F（x+2）=F（x）．（7分）
设x∈[2k，2k+1]，则x-2k∈[0，1]，（8分）
∴F(x-2k)=

x-2k

x-2k+1

，即F(x)=

x-2k

x-2k+1

．（10分）

（3）不等式为

x-2k

x-2k+1

＜-x+a，（12分）
∴a＞1+x-

1

x-2k+1

对x∈[2k，2k+1]（k∈N）恒成立，
因此a＞(1+x-

1

x-2k+1

)max．（14分）
∵1+x-

1

x-2k+1

在x∈[2k，2k+1]上单调递增，
∴x=2k+1时其最大值为2k+

3

2

，
∴a＞2k+

3

2

，即a∈(2k+

3

2

，+∞)（k∈N）．（16分）

点评：本题是对向量和函数的奇偶性，单调性，对称性和恒成立问题的综合考查，是一道综合性极强的好题．