Question

如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D是线段AB上的动点．
（1）求AB所在直线的一般式方程；
（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）求出AB所在直线的斜率，利用点斜式求出AB所在的直线方程；
（2）设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x₀，y₀），利用平行四边形，推出M与D坐标关系，利用当D在线段AB上运动，求线段CD的中点M的轨迹方程．

解答：解：（1）∵AB∥OC，∴AD所在直线的斜率为：K_AB=K_OC=3．
∴AB所在直线方程是y-0=3（x-3），即3x-y-9=0．
（2）：设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x₀，y₀），
由平行四边形的性质得点B的坐标是（4，6），
∵M是线段CD的中点，∴x=

x0+1

2

，y=

y0+3

2

，
于是有x₀=2x-1，y₀=2y-3，
∵点D在线段AB上运动，
∴3x₀-y₀-9=0，（3≤x₀≤4），
∴3（2x-1）-（2y-3）-9=0
即6x-2y-9=0，（2≤x≤

5

2

）．

点评：本题考查直线方程的求法，与直线有关的动点的轨迹方程的求法，考查转化思想与计算能力，确定M与D坐标关系是关键．