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(2009•浦东新区一模)如图,在平行四边形ABCD中,O为对角线交点,AB=2,AD=3,则
AC
BD
=
5
5
分析:利用向量的加法、减法的几何定义,将向量
AC
BD
表示为
AB
、AD
的组合,再用向量数量积的运算法则,得到两条边长的平方差代入题中数据可得正确答案.
解答:解:由向量的加法、减法的几何定义得:
AC
AB
+
AD
BD
=
AD
-
AB

所以
AC
BD
= (
AB
+
AD
=)(
AD
-
AB
)

=|
AD
 2-|
AB
 2

=32-22=5
故答案为5
点评:本题考查了向量加减法的几何定义和向量数量积运算法则,属于中档题.利用平行四边形法则,将题中的向量用平行四边形的两个邻边对应的向量来线性表示,是解决本题的关键.
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(2009•浦东新区一模)如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越短,铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米,AD=10
3
米,记∠BHE=θ.
(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;
(2)若sinθ+cosθ=
3
+1
2
,求此时管道的长度L;
(3)问:当θ取何值时,铺设管道的成本最低?并求出此时管道的长度.

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limn→∞
Sn
=
16
16

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π
π

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第一组:f1(x)=sinx,f2(x)=cosx,h(x)=sin(x+
π
3
)

第二组:f1(x)=x2-x,f2(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1.
(2)设f1(x)=log2x,f2(x)=log
1
2
x,a=2,b=1
,生成函数h(x).若不等式h(4x)+t•h(2x)<0在x∈[2,4]上有解,求实数t的取值范围.
(3)设f1(x)=x(x>0),f2(x)=
1
x
(x>0)
,取a>0,b>0生成函数h(x)图象的最低点坐标为(2,8).若对于任意正实数x1,x2且x1+x2=1,试问是否存在最大的常数m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立?如果存在,求出这个m的值;如果不存在,请说明理由.

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(2009•浦东新区二模)在△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c已知a=2
3
 , c=2
,且
.
sinCsinB0
0b-2c
cosA01
.
=0
,求△ABC的面积.

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