Question

（2009•浦东新区一模）对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数？并说明理由．
第一组：f1(x)=sinx，f2(x)=cosx，h(x)=sin(x+

π

3

)；
第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1．
（2）设f1(x)=log2x，f2(x)=log

1

2

x，a=2，b=1，生成函数h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
（3）设f1(x)=x(x＞0)，f2(x)=

1

x

(x＞0)，取a＞0，b＞0生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x₁，x₂且x₁+x₂=1，试问是否存在最大的常数m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）化简h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），使得与h(x)=sin(x+

π

3

)相同，求出a，b判断结果满足题意；类似方法计算判断第二组．
（2）设f1(x)=log2x，f2(x)=log

1

2

x，a=2，b=1，生成函数h(x)=2f1(x)+f2(x)=2log2x+log

1

2

x=log2x化简不等式h（4x）+t•h（2x）＜0，在x∈[2，4]上有解，就是求t＜-

2+log2x

1+log2x

=-1-

1

1+log2x

的最大值，即可．
（3）由题意得，h(x)=ax+

b

x

(x＞0)，则h(x)=ax+

b

x

≥2

ab

，由于生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．故

2a+ b 2 =8 2 ab =8

，可求得

a=2 b=8

所以函数h(x)=2x+

8

x

(x＞0)．假设存在最大的常数m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立．即有u=h(x1)h(x2)=4(x1+

4

x1

)(x2+

4

x2

)，从而转化为求u的最小值即可．

解答：解：（1）①设asinx+bcosx=sin(x+

π

3

)，即asinx+bcosx=

1

2

sinx+

3

2

cosx
取a=

1

2

，b=

3

2

，所以h（x）是f₁（x），f₂（x）的生成函数．
②设a（x²+x）+b（x²+x+1）=x²-x+1，即（a+b）x²+（a+b）x+b=x²-x+1，则

a+b=1 a+b=-1 b=1

，该方程组无解．
所以h（x）不是f₁（x），f₂（x）的生成函数．…（4分）
（2）h(x)=2f1(x)+f2(x)=2log2x+log

1

2

x=log2xh（4x）+t•h（2x）＜0，即log₂（4x）+t•log₂（2x）＜0
所以，（2+log₂x）+t（1+log₂x）＜0．因为x∈[2，4]，所以1+log₂x∈[2，3]
则t＜-

2+log2x

1+log2x

=-1-

1

1+log2x

，函数y=-1-

1

1+log2x

在[2，4]上单调递增，所以ymax=-

4

3

故t＜-

4

3

．　　　　　　　　　　　　　　　　　…（10分）
（3）由题意得，h(x)=ax+

b

x

(x＞0)，则h(x)=ax+

b

x

≥2

ab

，
故

2a+ b 2 =8 2 ab =8

，解得

a=2 b=8

所以h(x)=2x+

8

x

(x＞0)．　　　　　　　　…（12分）
假设存在最大的常数m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立．
于是设u=h(x1)h(x2)=4(x1+

4

x1

)(x2+

4

x2

)=4x1x2+

64

x1x2

+16(

x1

x2

+

x2

x1

)=4x1x2+

64

x1x2

+16•

x12+x22

x1x2

=4x1x2+

64

x1x2

+16•

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=4x1x2+

80

x1x2

-32
设t=x₁x₂，则t=x1x2≤(

x1+x2

2

)2=

1

4

，即t∈(0，

1

4

]
设u=4t+

80

t

-32，t∈(0，

1

4

]
因为u′(t)=4-

80

t2

＜0，t∈(0，

1

4

]，所以u=4t+

80

t

-32，在(0，

1

4

]上单调递减，从而u≥u(

1

4

)=289
故存在最大的常数m=289…（16分）

点评：本题考查其他不等式的解法，函数的概念及其构成要素，函数恒成立问题，考查值思想，分类讨论，计算能力，函数与方程的思想，是中档题．