Question

如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D是线段AB上的中点．
（1）求AB所在直线的一般式方程；
（2）求直线CD与直线AB所成夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用AB∥OC，可得AB所在直线的斜率k_AB=k_OC，利用点斜式即可得出；
（2）由（1）知直线AB的方程：3x-y-9=0，利用BC∥x轴，可得y_B=3．进而得到点B的坐标，利用中点坐标公式可得点D的坐标，利用向量的夹角公式即可得出cos∠CDB．

解答：解：（1）∵AB∥OC，∴AB所在直线的斜率k_AB=k_OC=

3-0

1-0

=3，
故AB所在的直线方程是y-0=3（x-3），即3x-y-9=0．
（2）由（1）知直线AB的方程：3x-y-9=0，
∵BC∥x轴，C（1，3），∴y_B=3．
令y=3，解得x=4，∴点B的坐标为（4，3），
则点D的坐标为(

7

2

，

3

2

)．

DC

=(-

5

2

，

3

2

)，

DB

=(

1

2

，

3

2

)．∴cos∠CDB=

DC • DB

| DC | | DB |

=

2 85

85

．
即直线CD与直线AB所成夹角的余弦值为

2 85

85

．

点评：本题考查了平行直线的斜率之间的关系、向量的运算、向量的夹角公式、数量积运算等基础知识与基本方法，属于基础题．