Question

6．已知数列{a_n}的通项为a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，求a_n的前n项和S_n．

Answer 1

分析 通过a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$可知S_n=1•$\frac{1}{{2}^{0}}$+3•$\frac{1}{2}$+5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$、$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+5•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：∵a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=1•$\frac{1}{{2}^{0}}$+3•$\frac{1}{2}$+5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+5•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$S_n=1+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=1+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，
∴S_n=6-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．