Question

3．不等式（a²-3a-4）x²-（a-4）x-1＜0的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 通过讨论当（a²-3a-4）=0；当（a²-3a-4）≠0时的情况，得到不等式组解出即可．

解答 解：由a²-3a-4=0，解得：a=-1或a=4，
a=4时，原不等式化为-1＜0，符合题意，
a=-1时，原不等式化为5x-1＜0，不合题意；
当a²-3a-4≠0时，由关于x的不等式（a²-3a-4）x²-（a-4）x-1＜0的解集是R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-3a-4＜0}\\{△{=（a-4）}^{2}+4{（a}^{2}-3a-4）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（a-4）（a+1）＜0}\\{a（a-4）＜0}\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜4．
因此实数a的取值范围（0，4]．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题．