Question

已知椭圆C：，过点P（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为A₁
（1）求证：直线A₁B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；
（2）求△OA₁B面积的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）设直线方程为l：x=my+4，与，联立并消去x得：（3m²+4）y²+24my+36=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有，，由A关于x轴的对称点为A₁，得A₁（x₁，-y₁），由此能证明直线A₁B过x轴上一定点，并能求出此定点坐标．
（II）由（3m²+4）y²+24my+36=0中，判别式△＞0，解得m＞2或m＜-2，而直线A₁B过定点Q（1，0），由此能求出△OA₁B面积的取值范围．
解答：解：（I）设直线方程为l：x=my+4，
与联立并消去x得：（3m²+4）y²+24my+36=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有，，
由A关于x轴的对称点为A₁，
得A₁（x₁，-y₁），
根据题意设直线A₁B与x轴相交于点Q（t，0），
得，
即，
整理得，，
代入得t=1，
则定点为Q（1，0）
（II）设直线方程为l：x=my+4，
与联立并消去x得：（3m²+4）y²+24my+36=0，
△=（24m）²-4×36×（3m²+4）＞0，
解得m＞2或m＜-2，
而直线A₁B过定点Q（1，0）
所以=•-y_B|

=
=，
记t=|m|，，
∴f（t）在（2，+∞）上是单调递减函数，
∴．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．