Question

11．已知函数f（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$，g（x）=-2ax+a+1，h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当a=-1时，证明h（x）是奇函数；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=log₃g（x）有两个不等实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-1时，化简h（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$+2x，并求其定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），再判断h（x）+h（-x）=0即可；
（Ⅱ）化简可得$\frac{x-1}{x+1}$=-2ax+a+1，且x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），从而可得$\frac{1}{a}$=（x+1）（x-$\frac{1}{2}$），从而解得．

解答 解：（Ⅰ）证明：当a=-1时，
f（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$，g（x）=2x，
h（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$+2x，
定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
又∵h（-x）=log₃$\frac{x+1}{x-1}$-2x，
∴h（x）+h（-x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$+log₃$\frac{x+1}{x-1}$+2x-2x=0，
故h（x）为奇函数；
（Ⅱ）∵f（x）=log₃g（x），
∴$\frac{x-1}{x+1}$=-2ax+a+1，且x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
∴（1-2x）a=$\frac{x-1}{x+1}$-1=-$\frac{2}{x+1}$，
显然a≠0，
∴$\frac{1}{a}$=（x+1）（x-$\frac{1}{2}$），
利用图象可知，当$\frac{1}{a}$＞1时，
方程$\frac{1}{a}$=（x+1）（x-$\frac{1}{2}$）在（-∞，-1）∪（1，+∞）内有两个不等实数根，
解得0＜a＜1．

点评 本题考查了函数奇偶性的判断与数形结合的思想应用．