Question

【题目】设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1 ， F2 ， 且P，Q是椭圆C上不同的两点， （Ⅰ）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2 ， 且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；
（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：x2+3y2=6即为 ， 即有a= ，b= ，c= =2，
由直线PQ过椭圆C的右焦点F2（2，0），且倾斜角为30°，
可得直线PQ的方程为y= （x﹣2），
代入椭圆方程可得，x2﹣2x﹣1=0，
即有x1+x2=2，x1x2=﹣1，
由弦长公式可得|PQ|=
= = ，
由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4 ，
可得|F1P|+|QF1|=4 ﹣ = =2|PQ|，
则有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；
（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+3y2=6，
消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣2）=0，
则△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣2）
=12（6k2﹣m2+2）＞0，
x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2 ，
∵直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，
∴ = =k2 ，
即km（x1+x2）+m2=0，即有﹣ +m2=0，
由于m≠0，故k2= ，
∴直线PQ的斜率k为±
【解析】（I）求得椭圆的a，b，c，设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得|PQ|，再由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a，由等差数列的中项的性质，可得结论；（Ⅱ）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由等比数列的中项的性质，结合直线的斜率公式，化简整理，解方程即可得到直线PQ的斜率．