Question

（2011•浙江模拟）设点A，B是圆x²+y²=4上的两点，点C（1，0），如果∠ACB=90°，则线段AB长度的取值范围为

[

7

-1，

7

+1]

．

Answer 1

分析：将∠ACB绕点C旋转，经观察可得当直线AB与半径OC垂直时，圆心O到AB的距离最近或最远，AB的长达到最值．然后利用直线与圆方程联解，求出AB的坐标，即可得到两种情况下线段AB的长，进而得到当∠ACB旋转时线段AB长度的取值范围．

解答：解：将∠ACB绕点C旋转，可得
当直线AB与半径OC垂直时，圆心O到AB的距离最近或最远时，AB的长达到最值．
①当AB与OC交点在x轴的正半轴时，O到AB的距离最远，此时|AB|达到最小值
此时直线AC方程为：y=x-1，交x²+y²=4于A（

1+ 7

2

，

7 -1

2

）
类似地，可求得B（

1+ 7

2

，

1- 7

2

），可得|AB|=|y_A-y_B|=

7

-1
②当AB与OC交点在x轴的负半轴时，O到AB的距离最近，此时|AB|达到最大值
同①的方法，可求得此时的|AB|=

7

+1
综上所述，线段AB长度的取值范围为：[

7

-1，

7

+1]
故答案为：[

7

-1，

7

+1]

点评：本题给出圆内一点C，直角ACB在圆内旋转时求被圆截得线段AB的取值范围，着重考查了直线、圆的方程，直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．