Question

已知定义在I上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足0＜f'（x）＜2且f'（x）≠1，常数C₁是方程f（x）-x=0的实根，常数C₂是方程f（x）-2x=0的实根．
（1）若对任意[a，b]⊆I，存在x_o∈（a，b）使等式

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0)成立．证明：方程f（x）-x=0有且只有一个实根；
（2）求证：当x＞c₂时，总有f（x）＜2x；
（3）若|x₁-c₁|＜1，|x₂-c₁|＜1，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜4．

Answer 1

分析：（1）假设方程f（x）-x=0存在另一根，则利用条件可得出矛盾；（2）构造函数F（x）=f（x）-2x，可得F（x）在（c₂，+∞）单调递减，从而可证；（3）不妨设x₁≤x₂，①当x₁=x₂时，显然成立．②当x₁＜x₂时，利用（Ⅱ）的结论可证．

解答：证明：（1）假设存在另一根m（m≠c₁）即f（m）=m，f（c₁）=c₁，则

f(m)-f(c1)

m-c1

=

m-c1

m-c1

=1，与

f(m)-f(c1)

m-c1

=f’（x₀）≠1矛盾，所以假设错误，原命题结论正确．
（2）设F（x）=f（x）-2x，则F’（x）=f’（x）-2＜0，∴F（x）在（c₂，+∞）单调递减，
∴F（x）＜F（c₂）=f（c₂）-2c₂=0∴f（x）＜2x
（3）不妨设x₁≤x₂，①当x₁=x₂时，显然成立．
②当x₁＜x₂时，由（Ⅱ）知f（x₁）-2x₁＞f（x₂）-2x₂，∴f（x₁）-f（x₂）＞2x₁-2x₂
又∵f’（x）＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0
∴|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|=2|x₂-c₁-（x₁-c₁）|≤2|x₂-c₁|+2|x₁-c₁|≤2+2=4，
所以|f（x₂）-f（x₁）|≤4．

点评：本题主要考查函数与不等式的综合，考查构造函数研究函数的单调性，有一定的综合性．