Question

已知定义在R上的函数f（x）=

1

2

（sinωx+acosωx）（a∈R，0＜ω≤1）满足：f（x）=f（

π

3

-x），f（x-π）=f（x+π）．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若m²-4n＞0，m，n∈R，求证：“|m|+|n|＜1”是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在区间（-

5π

6

，

π

6

）内有两个不等的实根”的充分不必要条件．

Answer 1

分析：（I）利用辅助角公式化简函数的表达式为Asin（ωx+?），利用f（x-π）=f（x+π），求出函数的周期，通过周期公式求出ω，通过f（x）=f（

π

3

-x），令x=0，得到f（0）=f（

π

3

），求出a，即可求f（x）的解析式；
（II）通过x∈（-

5π

6

，

π

6

），求出x+

π

3

∈（-

π

2

，

π

2

）．令u=x+

π

3

，f（x）=t，g（t）=t²+mt+n，则f（x）=sinu，
由|m|+|n|＜1推出-

m

2

∈（-1，1）．利用△＞0，说明一元二次方程t²+mt+n=0在区间（-1，1）内有两个不等的实根．
结合函数y=sinu（u∈（-

π

2

，

π

2

））与u=x+

π

3

（x∈（-

5π

6

，

π

6

））都是增函数，推出所证的充分条件．
通过m=

5

6

，n=

1

6

，说明“|m|+|n|＜1”不是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在区间（-

5π

6

，

π

6

）内有两个不等实根”的必要条件．

解答：解：（I）∵f（x）=

1

2

（sinωx+acosωx）=

a2+1

2

sin（ωx+?），其中sin?=

a

a2+1

，cos?=

1

a2+1

，
由f（x-π）=f（x+π）知f（x）=f（x+2π），即函数f（x）的周期为2π．
∴

2π

|ω|

≤2π，即|ω|≥1．又0＜ω≤1，∴ω=1．
又∵f（x）=f（

π

3

-x），∴f（0）=f（

π

3

），
即

1

2

（sin0+acos0）=

1

2

（sin

π

3

+acos

π

3

），解得 a=

3

，∴f（x）=sin（x+

π

3

）．
（II）显然，x∈（-

5π

6

，

π

6

）等价于x+

π

3

∈（-

π

2

，

π

2

）．
令u=x+

π

3

，f（x）=t，g（t）=t²+mt+n，则f（x）=sinu，
由|m|+|n|＜1得|m+n|≤|m|+|n|＜1，∴m+n＞-1．
同理由|m-n|≤|m|+|n|＜1得m-n＜1．
∴g（1）=m+n+1＞0，g（-1）=1-m+n＞0．
又∵|m|≤|m|+|n|＜1，∴-

m

2

∈（-1，1）．
又∵△=m²-4n＞0，∴一元二次方程t²+mt+n=0在区间（-1，1）内有两个不等的实根．
∵函数y=sinu（u∈（-

π

2

，

π

2

））与u=x+

π

3

（x∈（-

5π

6

，

π

6

））都是增函数，
∴[f（x）]²+mf（x）+n=0在区间（-

5π

6

，

π

6

）内有两个不等实根．
∴“|m|+|n|＜1”是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在区间（-

5π

6

，

π

6

）内有两个不等实根”的充分条件．
令m=

5

6

，n=

1

6

，由于方程t²+

5

6

t+

1

6

=0有两个不等的实根-

1

3

，-

1

2

，且-

1

3

，-

1

2

∈（-1，1），
∴方程sin²（x+

π

3

）+

5

6

sin（x+

π

3

）+

1

6

=0在（-

5π

6

，

π

6

）内有两个不等的实根，
但|m|+|n|=

5

6

+

1

6

=1，
故“|m|+|n|＜1”不是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在区间（-

5π

6

，

π

6

）内有两个不等实根”的必要条件．
综上，“|m|+|n|＜1”是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在区间（-

5π

6

，

π

6

）内有两个不等实根”的充分不必要条件．

点评：本题考查三角函数的化简，解析式的求法，以及充分条件与必要条件的证明，方程的根的知识，考查转化思想，计算能力，反例证明问题的应用．