Question

16．已知函数$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}（{x∈R，a∈R}）$．
（1）求证：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）设函数f（x）存在反函数f^-1（x），且f（x）是奇函数，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）有实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）证明f′（x）=$\frac{{2}^{x+1}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$＞0，即可证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）求出反函数，利用方程，结合基本不等式，求实数t的取值范围．

解答 （1）证明：∵f′（x）=$\frac{{2}^{x+1}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$＞0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）解：∵f（x）是奇函数，
∴f（0）=a-$\frac{2}{1+1}$=0，
∴a=1，
由f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$得f^-1（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$（-1＜x＜1），
∵方程f^-1（x）=log₂（x+t）有实数根，
∴$\frac{1+x}{1-x}$=x+t（-1＜x＜1），
∴t=（1-x）+$\frac{2}{1-x}$-2≥2$\sqrt{2}$-2，当且仅当x=1-$\sqrt{2}$时取等号，
∴t的取值范围是[2$\sqrt{2}$-2，+∞）．

点评 本题考查函数单调性的证明，考查基本不等式的运用，正确变形是关键．