Question

2．在平面内，$\overrightarrow{A{B_1}}⊥\overrightarrow{A{B_2}}，|\overrightarrow{O{B_1}}|=3，|\overrightarrow{O{B_2}}|=4，\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{A{B_1}}+\overrightarrow{A{B_2}}$，若$1＜|\overrightarrow{OP}|＜2$，则$|\overrightarrow{OA}|$的取值范围是（　　）

• A． $（2\sqrt{3}，\sqrt{17}）$
• B． $（\sqrt{17}，\sqrt{21}）$
• C． $（\sqrt{17}，2\sqrt{6}）$
• D． $（\sqrt{21}，2\sqrt{6}）$

Answer 1

分析 建立坐标系，设B₁（a，0），B₂（0，b），则P（a，b），O（x，y），利用已知条件向量的模，以及$1＜|\overrightarrow{OP}|＜2$，转化求解$|\overrightarrow{OA}|$的取值范围即可．

解答 解：由$\overrightarrow{A{B_1}}⊥\overrightarrow{A{B_2}}，|\overrightarrow{O{B_1}}|=3，|\overrightarrow{O{B_2}}|=4，\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{A{B_1}}+\overrightarrow{A{B_2}}$，如图：建立坐标系，
设B₁（a，0），B₂（0，b），则P（a，b），O（x，y），
可得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（x-a）^{2}+{y}^{2}}=3}\\{\sqrt{{x}^{2}+（y-b）^{2}}=4}\end{array}\right.$，
可得（x-a）²+（y-b）²+x²+y²=9+16=25，
$|\overrightarrow{OP}|$=$\sqrt{（x-a）^{2}+（y-b）^{2}}$=$\sqrt{25-（{x}^{2}+{y}^{2}）}$，
又$|\overrightarrow{OA}|$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$|\overrightarrow{OP}|$=$\sqrt{25-|\overrightarrow{OA}{|}^{2}}$∈（1，2），
∴1$＜25-{\overrightarrow{OA}}^{2}＜4$，⇒21$＜{\overrightarrow{OA}}^{2}＜24$⇒$\sqrt{21}＜|\overrightarrow{OA}|＜2\sqrt{6}$．
故选：D．

点评 本题考查向量在几何中的应用，向量的模的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用．