Question

6．已知函数h（x）=lnx-x-$\frac{m}{x}$有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）写出函数h（x）的单调区间（用x₁，x₂表示，不需要说明理由）；
（2）如果函数F（x）=h（x）+$\frac{1}{2}$x在（1，b）上为增函数，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数与单调性的关系直接写出即可．
（2）根据导数的极值点，求出m的范围，再题意得到F′（x）＞0，在（1，b）上恒成立，求导，分离参数得到m＞$\frac{1}{2}$x²-x，即求出m的最小值大于g（x）的最大值即可．

解答 解：（1）h（x）=lnx-x-$\frac{m}{x}$，x＞0，
∴h′（x）=$\frac{1}{x}$-1+$\frac{m}{{x}^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}+x+m}{{x}^{2}}$，
∵h′（x）=0的两个根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
∴h（x）在（x₁，x₂）函数单调递增，在（0，x₁）和（x₂，+∞）单调递减，
（2）∵h（x）=lnx-x-$\frac{m}{x}$有两个极值点x₁，x₂，
∴h′（x）=0的两个根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
$\left\{\begin{array}{l}{△=1+4m＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=1＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-m＞0}\end{array}\right.$
解得-$\frac{1}{4}$＜m＜0，
∵函数F（x）=h（x）+$\frac{1}{2}$x在（1，b）上为增函数，
∴F′（x）＞0，在（1，b）上恒成立，
∴$\frac{1}{x}$-1+$\frac{m}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{2}$＞0，
∴m＞$\frac{1}{2}$x²-x，
设g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{1}{2}$，
∴g（x）在（1，b）上为增函数，
∴-$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{2}$b²-b，
解得1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤b≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵b＞1，
∴b的取值范围为（1，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题为导数、不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想，属于中档题．