Question

【题目】如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1 ， C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记 ，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2 ．

（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2 ， 求λ的值；
（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为

， ．其中a＞m＞n＞0，

＞1．

如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则

，

，

所以 ．

在C1和C2的方程中分别令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=﹣m，

于是 ．

若 ，则 ，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得 ．

故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则 ．

（2）解：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，

不妨设直线l：y=kx（k＞0），

点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则

，所以d1=d2．

又 ，所以 ，即|BD|=λ|AB|．

由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，

|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是 ．

将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得

根据对称性可知xC=﹣xB，xD=﹣xA，于是

②

从而由①和②可得

③

令 ，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得 ．

因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当 ，

等价于 ，由λ＞1，解得 ，

即 ，由λ＞1，解得 ，所以

当 时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；

当 时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．

【解析】（1）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2 ， 直接由面积比=λ列式求λ的值；（2）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2 ， 设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到 ，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的点到直线的距离公式，需要了解点到直线的距离为：才能得出正确答案．