Question

1．已知函数f（x）=（k+1）a^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）当a＞1时，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＞0对任意x∈（1，3）都成立的实数t的取值范围；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）+3m-2在[1，+∞）上的最小值是-4，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质利用f（0）=0，进行求解即可．
（2）根据指数函数的单调性的性质判断函数的单调性，然后根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式转化，结合基本不等式的性质进行求解．
（3）由f（1）=$\frac{3}{2}$，可解得a=2，利用换元法令t=2^x-2^-x，结合一元二次函数的性质，通过对m范围的讨论，结合题意h（t）_min=-4，即可求得m的值．

解答 解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，即k+1-1=0，则k=0．
（2）∵k=0，∴f（x）=a^x-a^-x，
若a＞1，y=a^x为增函数，y=a^-x，为减函数，则函数f（x）为增函数．
由f（x²+tx）+f（4-x）＞0得f（x²+tx）＞-f（4-x）=f（x-4），
即x²+tx＞x-4，
即x²+（t-1）x+4＞0，在x∈（1，3）都成立，
即（t-1）x＞-4-x²，
则t-1＞-$\frac{4}{x}$-x=-（$\frac{4}{x}$+x），
∵$\frac{4}{x}$+x≥2$\sqrt{\frac{4}{x}•x}$=4，当且仅当$\frac{4}{x}$=x，即x=2时取等号，
∴-（$\frac{4}{x}$+x）≤-4，
则t-1＞-4，
则t＞-3．
（3）∵f（1）=$\frac{3}{2}$，
∴a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，解得a=2．
故f（x）=2^x-2^-x，g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）+3m-2=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）+3m-2，
令t=2^x-2^-x，则2^2x+2^-2x=t²+2，由x∈[1，+∞），得t∈[$\frac{3}{2}$，+∞），
∴g（x）=h（t）=t²-2mt+3m=（t-m）²+3m-m²，t∈[$\frac{3}{2}$，+∞），
当m＜$\frac{3}{2}$时，h（t）在[$\frac{3}{2}$，+∞）上是增函数，则h（$\frac{3}{2}$）=-4，$\frac{9}{4}$-3m+3m=-4，此时$\frac{9}{4}$=-4不成立．
当m≥$\frac{3}{2}$时，则h（m）=-4，3m-m²=-4，即m²-3m-4=0，得m=4，或m=-1（舍去）．
综上，m的值是4．

点评 本题考查指数函数的综合应用，考查函数的奇偶性与单调性，突出换元思想与分类讨论思想在最值中的综合应用，属于难题．