Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的点均在C₂：（x-5）²＋y²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线C₁的方程；
(1-4班做)（Ⅱ）设P(x₀,y₀)（y₀≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.
（5-7班做）（Ⅱ）设P(-4,1)为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于点A，B和C，D.证明：四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.

Answer 1

（Ⅰ）曲线的方程为.
（Ⅱ）当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.

本事试题主要是考查了解析几何中运用坐标法解决几何问题的实质。
（1）由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为
（2）因为P的坐标为，则过P且与圆
相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为，
设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故
同理得到，进而证明。
（2）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆
相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为，
设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故
同理得到，进而证明。