Question

【题目】已知数列是首项为2，公比为的等比数列，且前项和为.

（1）用表示；

（2）是否存在自然数和，使得成立？

Answer 1

【答案】（1）Sn＋1＝Sn＋2； （2）见解析.

【解析】

(1)根据题意，得Sn＝4,所以Sn＋1＝4＝Sn＋2(n∈N＋)．(2)利用分析法解答，要使不等式＞2成立，只需不等式Sk－2＜c＜Sk(k∈N＋) ①成立，要使①成立，c只能取2或3.再讨论c=2或3时，是否成立即得解.

(1)根据题意，得Sn＝4.

所以Sn＋1＝4＝Sn＋2(n∈N＋)．

(2)要使不等式＞2成立，

只需不等式＜0成立．

因为Sk＝4＜4，

所以Sk－＝2－Sk＞0(k∈N＋)．

故只需不等式Sk－2＜c＜Sk(k∈N＋) ①成立．

因为Sk＋1＞Sk(k∈N＋)，

所以Sk－2≥S1－2＝1.

又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.

当c＝2时，因为S1＝2，

所以当k＝1时，c＜Sk不成立．从而①不成立．

当k≥2时，因为S2－2＝＞c，由Sk＜Sk＋1

(k∈N＋)，得Sk－2＜Sk＋1－2.

故当k≥2时， Sk－2＞c.从而①不成立．

当c＝3时，因为S1＝2，S2＝3，

所以当k＝1， k＝2时，c＜Sk不成立．从而①不成立．

因为S3－2＝＞c， Sk－2＜Sk＋1－2，

所以当k≥3时， Sk－2＞c.从而①不成立．

综上，不存在自然数c和k，使不等式＞2成立．