Question

【题目】设函数f(x)定义在区间(0，＋∞)上，且f(1)＝0，导函数f′(x)＝，函数g(x)＝f(x)＋f′(x)．

(1)求函数g(x)的最小值；

(2)是否存在x0＞0，使得不等式|g(x)－g(x0)|＜对任意x＞0恒成立？若存在，请求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）满足条件的x0不存在，理由见解析。

【解析】

（I）根据题意求出f（x）的解析式，代入g（x）=f（x）+f′（x）．求出g（x），根据g′（x）得出函数g（x）的单调区间和最小值；（2） 假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，转化为求函数的值域，得矛盾．

(1)由题设，易知f(x)＝ln x，g(x)＝ln x＋.

∴g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝1.

当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故区间(0,1)是函数g(x)的单调递减区间；

当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故区间(1，＋∞)是函数g(x)的单调递增区间．

∴函数g(x)的最小值为g(1)＝1.

(2)满足条件的x0不存在．理由如下：

假设存在x0＞0，使得不等式|g(x)－g(x0)|＜对任意x＞0恒成立．

由(1)知函数g(x)的最小值为g(1)＝1.

∴当x≥1时，函数g(x)的值域为[1，＋∞)，

从而可取一个x1＞1，使g(x1)≥g(x0)＋1，

即g(x1)－g(x0)≥1 故|g(x1)－g(x0)|≥1＞，与假设矛盾．

∴不存在x0＞0，使得不等式|g(x)－g(x0)|＜对任意x＞0恒成立．