Question

【题目】学校某文具商店经营某种文具，商店每销售一件该文具可获利3元，若供大于求则削价处理，每处理一件文具亏损1元；若供不应求，则可以从外部调剂供应，此时每件文具仅获利2元．为了了解市场需求的情况，经销商统计了去年一年（52周）的销售情况．

销售量（件）	10	11	12	13	14	15	16
周数	2	4	8	13	13	8	4

以去年每周的销售量的频率为今年每周市场需求量的概率．
（1）要使进货量不超过市场需求量的概率大于0.5，问进货量的最大值是多少？
（2）如果今年的周进货量为14，写出周利润Y的分布列；
（3）如果以周利润的期望值为考虑问题的依据，今年的周进货量定为多少合适？

Answer 1

【答案】
（1）解：若进货量定为13件，则“进货量不超过市场需求量”是指“销售两不小于13件”，相应有13+13+8+4=38周．“进货量不超过市场需求量”的概率P= ＞0.5；同理：若进货量定为14件，则“进货量不超过市场需求量”的概率 ＜0.5；∴要使进货量不超过市场需求量的概率大于0.5，进货量的最大值是13．
（2）解：今年的周进货量为14，设“平均今年周利润”Y；若售出10件，则利润y=10×3+4×（﹣1）=26．售出11件，则利润y=11×3+3×（﹣1）=30．售出12件，则利润y=12×3+2×（﹣1）=34．售出13件，则利润y=13×3+1×（﹣1）=38．售出14件，则利润y=14×3=42．售出15件，则利润y=14×3+1×2=44．售出16件，则利润y=14×3+2×2=46．

Y的分布列为：

Y	26	30	34	38	42	44	46
P

E（Y）=26× +30× +34× +38× +42× +44× +46× ≈32.08．

（3）解：以周利润的期望值为考虑问题的依据，今年的周进货量定为11件或12件合适．
【解析】（I）若进货量定为13件，相应有13+13+8+4=38周．可得“进货量不超过市场需求量”的概率P= ＞0.5；同理：若进货量定为14件，则“进货量不超过市场需求量”的概率 ＜0.5，即可得出．（II）今年的周进货量为14，设“平均今年周利润”Y；若售出x件，x≤14时，则利润y=x×3+（14﹣x）×（﹣1）．x≥15时，则利润y=14×3+（x﹣14）×2．即可得出Y的分布列．（III）以周利润的期望值为考虑问题的依据，今年的周进货量定为11件或12件合适．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．