Question

【题目】[选修4-5：不等式选讲]
设函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=|2x+1|．
（1）解不等式f（x）＜g（x）；
（2）若2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）＜g（x）等价于（x﹣4）2＜（2x+1）2，∴x2+4x﹣5＞0，

∴x＜﹣5或x＞1，

∴不等式的解集为{x|x＜﹣5或x＞1}；

（2）解：令H（x）=2f（x）+g（x）= ，G（x）=ax，

2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，即H（x）的图象恒在直线G（x）=ax的上方．

故直线G（x）=ax的斜率a满足﹣4≤a＜ ，即a的范围为[﹣4， ）．

【解析】（1）f（x）＜g（x）等价于（x﹣4）2＜（2x+1）2 ， 从而求得不等式f（x）＜g（x）的解集．（2）由题意2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，即H（x）的图象恒在直线G（x）=ax的上，即可求得a的范围．
【考点精析】利用绝对值不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．