Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，是椭圆上位于直线两侧的动点．

（i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；

（ii）当点运动时，满足，问直线的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ）（i）；（ii）的斜率为定值.

【解析】

试题（I）设椭圆的方程为，由条件利用椭圆的性质求得和的值，可得椭圆的方程．

（II）（i）设的方程为，代入椭圆的方程化简，由△＞0，求得的范围，再利用利用韦达定理可得以及的值．再求得的坐标，根据四边形的面积，计算求得结果．

（ii）当时，C、的斜率之和等于零，的方程为，把它代入椭圆的方程化简求得．再把直线的方程椭圆的方程化简求得的值，可得以及的值，从而求得的斜率的值．

试题解析：设椭圆的方程为，由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，．

再根据离心率，求得，∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）（i）设，的方程为，代入椭圆的方程化简可得，由，求得．

利用韦达定理可得，．

在中，令求得，∴四边形的面积

，

故当时，四边形的面积取得最小值为4．

（ii）当时，、的斜率之和等于零，设的斜率为，则的斜率为，

的方程为，把它代入椭圆的方程化简可得

，所以．

同理可得直线的方程为，

，

的斜率．