Question

【题目】定义域为R的偶函数f（x）满足x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（x+1）恰有三个零点，则a的取值范围是（ ）
A.（0， ）
B.（0， ）
C.（ ， ）
D.（ ， ）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1）， 且f（x）是定义域为R的偶函数，
令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），
又f（﹣1）=f（1），
可得f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为2的偶函数．
当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2 ，
函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．
函数y=f（x）﹣loga（x+1）在（0，+∞）上恰有三个零点，
令g（x）=loga（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象恰有3个交点．
作出函数的图象，如图所示，
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．
要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上恰有三个零点，
则有g（2）＞f（2）且f（4）＞g（4），即 loga（2+1）＞f（2）=﹣2，且﹣2＞loga（4+1），
解得 ＜a＜ ．
故选：C．