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已知曲线y=xcosx+1在点(
π2
,1)
处的切线与直线y=ax+1垂直,则实数a=
 
分析:求出函数的导函数y′,根据导数的几何意义,得到曲线f(x)=xcosx+1在点(
π
2
,1)
处的切线的斜率,由斜率之积等于-1,即可求得a的值.
解答:解:∵y=xcosx+1,
∴y′=cosx-xsinx,
根据导数的几何意义,曲线y=xcosx+1在点(
π
2
,1)
处的切线的斜率k=cos
π
2
-
π
2
sin
π
2
=0-
π
2
=-
π
2

∵曲线y=xcosx+1在点(
π
2
,1)
处的切线与直线y=ax+1垂直,
∴-
π
2
×a=-1,
∴a=
2
π

故答案为:
2
π
点评:本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,直线与直线的位置关系.导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率,解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上.直线与直线的位置关系主要有相交、平行,本题考查了相交中的特殊情况-垂直,两条直线垂直,可以运用斜率的乘积等于-1进行求解.属于中档题.
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A.相离
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C.相交
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