Question

3．在锐角△ABC中，AB=2，BC=3，△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，则AC的长为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由题意及三角形面积公式可得：$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}$×2×3×sinB，解得sinB，又B为锐角，可求cosB，由余弦定理即可求得AC的值．

解答 解：∵AB=2，BC=3，△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴由三角形面积公式可得：$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}$×2×3×sinB，解得：sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又B为锐角，可得：cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{2}$，
∴由余弦定理可得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•AC•cosB}$=$\sqrt{4+9-2×2×3×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$．
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数关系式的应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于基础题．