Question

利用数学归纳法证明“

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

13

24

，(n≥2，n∈N)”的过程中，由“n=k”变成“n=k+1”时，不等式左边的变化是（　　）

• A．增加

  1

  2(k+1)

• B．增加

  1

  2(k+1)

  和

  1

  2k+2

• C．增加

  1

  2k+2

  ，并减少

  1

  k+1

• D．增加

  1

  2k+1

  和

  1

  2k+2

  ，并减少

  1

  k+1

Answer 1

分析：观察不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

13

24

，(n≥2，n∈N)左边的各项，他们都是以

1

n+1

开始，以

1

2n

项结束，共n项，当由n=k到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．

解答：解：n=k时，左边=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

k+k

n=k+1时，左边=

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

(k+1)+(k+1)

由“n=k”变成“n=k+1”时，

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

故选D．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．