Question

已知数列{a_n}满足an+1=

an-2

2an-3

，n∈N*，a1=

1

2

．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄；（Ⅱ）猜想数列的通项a_n，并利用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由递推公式，令n=2，3，4易得；
（Ⅱ）通过a₂，a₃，a₄猜想，再用数学归纳法证明，要注意分两步证明．

解答：解：（Ⅰ）由递推公式，得a2=

a1-2

2a1-3

=

1 2 -2

2• 1 2 -3

=

3

4

，（3分）
（Ⅱ）猜想：an=

2n-1

2n

．（5分）
证明：①n=1时，由已知，等式成立．（6分）
②设n=k（k∈N^*）时，等式成立．即ak=

2k-1

2k

．（7分）
所以ak+1=

ak-2

2ak-3

=

2k-1 2k -2

2• 2k-1 2k -3

=

2k-1-4k

4k-2-6k

=

2k+1

2k+2

=

2(k+1)-1

2(k+1)

，
所以n=k+1时，等式成立．（9分）
根据①②可知，对任意n∈N^*，等式成立．即通项an=

2n-1

2n

．

点评：本题主要考查推理和数学归纳法的证明方法及思路．