Question

设0＜a，b，c＜1，求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a，不可能同时大于

1

4

Answer 1

分析：对于不可能结论的命题，常用反证法，即先假设三者都大于

1

4

，相乘后得到的结论与另一个结论矛盾，从而原结论成立．

解答：证：假设原命题不成立；
即（1-a）b＞

1

4

，（1-b）c＞

1

4

，（1-c）a＞

1

4

，
则三式相乘：（1-a）b•（1-b）c•（1-c）a＞

1

64

①
又∵0＜a，b，c＜1∴0＜(1-a)a≤(

1-a+a

2

)²=

1

4

同理：（1-b）b≤

1

4

，（1-c）c≤

1

4

．
以上三式相乘：（1-a）a•（1-b）b•（1-c）c≤

1

64

与①矛盾．
∴（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a，不可能同时大于

1

4

．

点评：有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明，我们可以间接的方法--反证法去证明，即通过否定原结论---导出矛盾---从而达到肯定原结论的目的．