Question

设0＜a，b，c＜1，求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a，不可能同时大于

Answer 1

【答案】分析：对于不可能结论的命题，常用反证法，即先假设三者都大于，相乘后得到的结论与另一个结论矛盾，从而原结论成立．
解答：证：假设原命题不成立；
即（1-a）b＞，（1-b）c＞，（1-c）a＞，
则三式相乘：（1-a）b•（1-b）c•（1-c）a＞①
又∵0＜a，b，c＜1∴²=
同理：（1-b）b≤，（1-c）c≤．
以上三式相乘：（1-a）a•（1-b）b•（1-c）c≤与①矛盾．
∴（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a，不可能同时大于．
点评：有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明，我们可以间接的方法--反证法去证明，即通过否定原结论---导出矛盾---从而达到肯定原结论的目的．