Question

已知x，y为正实数，求证：

x

2x+y

+

y

x+2y

≤

2

3

．

Answer 1

分析：用分析法，依题意，要证

x

2x+y

+

y

x+2y

≤

2

3

，需证…，即证…，而…成立，从而原结论成立．

解答：证：因为x，y为正实数，
要证

x

2x+y

+

y

x+2y

≤

2

3

，
只要证

x(x+2y)+y(2x+y)

(2x+y)(x+2y)

≤

2

3

，
即证3x²+12xy+3y²≤2（2x+y）（x+2y）              …（3分）
即证x²-2xy+y²≥0，
即证（x-y）²≥0，显然成立
所以原不等式成立．…（6分）

点评：本题考查不等式的证明，突出考查分析法的应用，考查推理与证明的能力，属于中档题．