Question

（2013•肇庆二模）设椭圆

x2

b2

+

y2

a2

=1 (a＞0，b＞0)的离心率为

1

2

，其左焦点与抛物线C：x=-

1

4

y2的焦点相同．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）若过此椭圆的右焦点F的直线l与曲线C只有一个交点P，则
（1）求直线l的方程；
（2）椭圆上是否存在点M（x，y），使得S△MPF=

1

2

，若存在，请说明一共有几个点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由抛物线的标准方程即可得到焦点坐标，即得到椭圆的左焦点，再利用离心率即可得出b，进而求出a及椭圆标准方程；
（II）（1）过此椭圆的右焦点F的直线l与曲线C只有一个交点P分与对称轴平行（或重合）与相切两种情况考虑即可得出；
（2）由（1）可求出点P的坐标是（0，0）或（-1，2）或（-1，-2）．分次三种情况讨论：求出|PF|，再求出点M到直线l的距离即可．

解答：解：（Ⅰ）抛物线C的焦点为E（-1，0），它是椭圆的左焦点．离心率为

1

b

=

1

2

，
∴b=2．
由b²-a²=1²求得a=

3

．
因此，所求椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（*）
（Ⅱ）（1）椭圆的右焦点为F（1，0），过点F与y轴平行的直线显然与曲线C没有交点．设直线l的斜率为k，
①若k=0，则直线y=0过点F（1，0）且与曲线C只有一个交点（0，0），此时直线l的方程为y=0；
②若k≠0，因直线l过点F（1，0），故可设其方程为y=k（x-1），将其代入y²=-4x消去y，得k²x²-2（k²-2）x+k²=0．
因为直线l与曲线C只有一个交点P，所以判别式4（k²-2）²-4k²•k²=0，于是k=±1，从而直线l的方程为y=x-1或y=-x+1．
因此，所求的直线l的方程为y=0或y=x-1或y=-x+1．
（2）由（1）可求出点P的坐标是（0，0）或（-1，2）或（-1，-2）．
①若点P的坐标是（0，0），则PF=1．
于是S△MPF=

1

2

=

1

2

×1×|y|，从而y=±1，代入（*）式联立：

x2 4 + y2 3 =1 y=1

或

x2 4 + y2 3 =1 y=-1

，求得x=±

2 6

3

，
此时满足条件的点M有4个：(

2 6

3

， 1)， (-

2 6

3

， 1)， (

2 6

3

， -1)， (-

2 6

3

， -1)．
②若点P的坐标是（-1，2），则PF=2

2

，点M到直线l：y=-x+1的距离是

|x+y-1|

2

，
于是有

1

2

=S△MPF=

1

2

×2

2

×

|x+y-1|

2

=|x+y-1|，从而x+y-1=±

1

2

，
与（*）式联立：

x2 4 + y2 3 =1 x+y-1= 1 2

或

x2 4 + y2 3 =1 x+y-1=- 1 2

解之，可求出满足条件的点M有4个：(

6+ 57

7

， 

9-2 57

14

)，(

6- 57

7

， 

9+2 57

14

)，(

11

7

，- 

15

14

)，(-1， 

3

2

)．
③若点P的坐标是（-1，-2），则PF=2

2

，
点M（x，y）到直线l：y=x-1的距离是

|x-y-1|

2

，
于是有

1

2

=S△MPF=

1

2

×2

2

×

|x-y-1|

2

=|x-y-1|，从而x-y-1=±

1

2

，
与（*）式联立：

x2 4 + y2 3 =1 x-y-1= 1 2

或

x2 4 + y2 3 =1 x-y-1=- 1 2

，
解之，可求出满足条件的点M有4个：(

6+ 57

7

， 

-9+2 57

14

)，(

6- 57

7

， 

-9-2 57

14

)，(

11

7

， 

15

14

)，(-1， -

3

2

)．
综合①②③，以上12个点各不相同且均在该椭圆上，因此，满足条件的点M共有12个．图上椭圆上的12个点即为所求．

点评：本题综合考查了椭圆、抛物线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交相切问题及其三角形的面积，需要较强的推理能力和计算能力及数形结合的能力．