Question

定义在（0，+∞）上的函数f （x），对于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（m•n）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0．（Ⅰ）计算f（1）；（Ⅱ）证明f （x）在（0，+∞）上是减函数；（Ⅲ）当时，解不等式f（x²-3x）＞-1．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵定义在（0，+∞）上的函数f （x）对于任意的m，n∈（0，+∞），满足f（m•n）=f（m）+f（n），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）．∴f（1）=0
证明：（II）设0＜x₁＜x₂，∵f（m•n）=f（m）+f（n）即f（m•n）-f（m）=f（n）
∴=．
因为0＜x₁＜x₂，则，而当x＞1时，f（x）＜0，从而f（x₂）＜f（x₁）
于是f（x）在（0，+∞）上是减函数．
解：（Ⅲ）因为f（4）=f（2）+f（2）=-1，所以f（x²-3x）＞f（4），
因为f（x）在（0，+∞）上是减函数，所以0＜x²-3x＜4，
解得-1＜x＜0或3＜x＜4，
故所求不等式的解集为{x|-1＜x＜0或3＜x＜4}．
分析：（Ⅰ）用赋值法求f（1）的值，因为定义在（0，+∞）上的函数f （x）对于任意的m，n∈（0，+∞），满足f（m•n）=f（m）+f（n），所以只需令m=n=1，即可求出f（1）的值．
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明，步骤是，先设所给区间上任意两个自变量x₁，x₂，且x₁＜x₂，再用作差法比较f（x₁），f（x₂）的大小，比较时，借助f（m•n）=f（m）+f（n），把x₂用表示即可．
（Ⅲ）先根据以及f（m•n）=f（m）+f（n）求出f（4）=-1，把不等式f（x²-3x）＞-1化为f（x²-3x）＞f（4），再利用（II）中判断的函数的单调性解不等式即可．
点评：本题主要考查了赋值法求抽象函数的函数值，抽象函数的单调性的证明，以及借助函数单调性解不等式．